Las funciones pueden ser clasificadas principalmente en tres categorías basadas en como las imágenes y los argumentos están asignados, a saber en otra función injectiva, función sobreyectiva y
función biyectiva.
Una función inyectiva, también llamada función uno a uno, es aquella que conserva la distinción, es decir, no asigna los distintos elementos en su dominio al mismo elemento en su co-dominio. En otras palabras, podemos decir que hay una asignación uno a uno entre los elementos del dominio y el co-dominio de una función. A la luz de la declaración anterior, podemos concluir que hay una salida diferente para cada entrada de la función.
La notación utilizada para representar una función inyectiva es la flecha con cola de pescado, es decir, f: A> B, donde f es una función de A a B. Tal función asegura una imagen diferente para cada elemento en el dominio de la función. Sin embargo, en algunos casos, un elemento en particular en el rango de la función puede tener múltiples pre- imágenes.
En términos matemáticos, una función inyectiva es una función f: A B, donde ningún elemento de B es la imagen de dos o más elementos diferentes de A bajo f. En terminología gráfica, si la curva que representa la función es cortada por cualquier línea horizontal al menos una vez, entonces tal función es llamada función inyectiva.
Una función sobreyectiva, también conocida con el nombre de sobre función, es aquella en la cual podemos obtener todos los números en el co-dominio de la función por la aplicación de la correspondencia / función f a un número en el dominio de la función. En tal escenario, pueden existir varios elementos en el dominio de la función que se asignen al mismo elemento en el co-dominio de la función.
En términos matemáticos, una función sobreyectiva es una función f: A B donde el rango de la función es igual al co-dominio de la función. En general, una función con rango R y co-dominio B posee la propiedad de que R es subconjunto de B.
Por lo tanto, con el fin de demostrar que una función es una función sobreyectiva, debemos probar que B es un subconjunto de R. Con este fin uno puede tomar arbitrariamente cualquier elemento del co-dominio y demostrar que este existe como la imagen de algún elemento en el dominio de la función.
En el ejemplo anterior la función f(x) existe para valores positivos lo que implica que el rango de la función es mayor que cero, por tanto se puede concluir que el rango y el co-dominio son iguales. Entonces podemos decir que la función es sobreyectiva.
Una función biyectiva es aquella que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva, es decir, es una combinación de los dos tipos de funciones mencionadas anteriormente. Una función biyectiva es aquella en la que tenemos un solo elemento en el dominio de la función para cada elemento en el co-dominio de la función, lo que implica que f(x) = y, donde x ε X (dominio de la función) y y ε Y (co-dominio de la función).
A la luz de la declaración anterior se concluye que no puede existir ningún elemento sin asignar ya sea en el dominio o en el co-dominio. Observe un ejemplo resuelto para un mejor entendimiento, La función f es definida como f: N N (donde N es un conjunto de números naturales) y f(x) = x+2. ¿Es esta función sobreyectiva? Solución:
Dado que, N = {1, 2, 3, 4…} y X = Y = N
Para: X Y
Donde x = 1 f(x) = 3
Donde x = 2 f(x) = 4
Entonces f(x) nunca toma el valor de 1 y 2. Por lo tanto, Y tiene dos elementos que no poseen pre-imagen en X. Lo que significa que esta no es una función sobreyectiva.
