El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.
Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.
Ademas, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.
Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.
Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:
1).Los Límites de las sucesiones de origen convergentes son únicos.
2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.
3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan + ybn }n 1 es también convergente.
4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan . ybn }n 1 es también convergente. Obtenemos,
{ an . bn }= an . bn
5). En el caso de la sucesión {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condición que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es también convergente.
Los límites de las sucesiones estándares pueden ser útiles para facilitar el cálculo. Algunos de estos son:
1). = 0
2). = 0 | r | < 1.
3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + …..+ Este límite es conocido como serie infinita geométrica con el primer término “a” y la razón común “r”.
Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las características de los límites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un número x, donde 0 <x <1
xn = 0
Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesión xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces,
xn = L
Por lo tanto, tenemos que demostrar L = 0
Como, xn+1 es parte de la sucesión xn , entonces, xn+1 = L
Ahora, dado que xn+1 = x xn
De las propiedades citadas,
xn+1 = x. xn
L = x. L
