3.3 Calculo de límites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

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Todos nosotros hemos leído en las matemáticas básicas que si el valor del denominador es cero, entonces obtendremos un valor indefinido como producto. Pero en el caso del cálculo, podemos obtener una solución aunque el valor del denominador sea cero.

Para entender el concepto, mire el ejemplo dado a continuación, f(x) = x3/ x

Si lo resolvemos tenemos f(x) = x2 como respuesta. El gráfico de esta función es una parábola, como se muestra debajo,

Ahora bien, si x alcanza el valor de cero en algún punto entonces tenemos una salida indefinida.

 Utilizando el cálculo obtenemos el valor de la ecuación para un valor algo más grande y para un valor algo menor que cero. Este es el concepto detrás de los límites.

El concepto de límite es que al llegar más y más cerca de un valor específico de x, el valor de la función también comienza a resolverse en torno a un valor específico. De este modo podemos calcular el valor de la función para algunos valores que están muy cerca de cero.

Esto proporcionará un resultado de valor aproximado para la función dada y por tanto no obtendremos un valor indefinido como valor de salida de la función.

Para el ejemplo ilustrado arriba tendríamos cero como salida si el valor del denominador es casi igual a cero. Esto es debido a que el valor de salida de la función se aproxima al valor de cero a medida que el valor de entrada de la función llega a cero. Se puede observar claramente en el gráfico de la función.

Sin embargo no siempre es el caso que tanto el valor de entrada como el valor salida de la función alcancen el mismo valor. El cálculo ayuda en la determinación de la salida de una función no habiéndose dado un valor indeterminado de la función como salida. Esto hace el concepto de límite distinto de simple álgebra.

No es esencial que el valor de la función sea indefinido solamente para cero. Funciones diferentes tienen valores de entrada diferentes para los cuales la función es indefinida. Por lo tanto el límite puede ser leído “se define límite como la entrada tiende a una variable que hace la función salida indefinida”.

Hay ciertas reglas para los cálculos en que participan los límites. Algunas de ellas se enumeran a continuación: Considere un valor constante a, y dos límites y sea real entonces,

• = +

• = -

• =

• = *

• = , la expresión anterior no es verdadera para valores negativos.

• = c, esto es, el límite de un valor constante es el valor constante por sí mismo

• = f(s), la expresión anterior es verdadera solamente para funciones racionales y funciones polinomiales. Es esencial que s se encuentre en el dominio de la función dada.

Existen otras propiedades importantes también que sin embargo no podemos abordar aquí.

 Veamos ahora un ejemplo, limx2 (3×2 – 4x + 5)

 = limx2 (3×2) - limx2 (4x) + limx2 (5)

 = 3limx2 (x2) - 4limx2 (x) + limx2 (5)

 = 3(2)2- 4(2) + 5

 = 12 – 8 + 5

 = 9