4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital

Derivadas de orden superior

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Notación

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior























Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Ejemplo 1:








Ejemplo 2:



















Ejemplo 3:












Ejemplo 4:













Ejemplo 5:













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Regla de L'Hôpital

Si f y g, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe límite, este límite coincide con límite.
regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:
indeterminación es

Ejemplos

límite
límite
solución
límite
indeterminación
operaciones
Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.
comparación de infinitos
solución


Indeterminación infinito menos infinito

En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.
límite
límite
límite
solución


Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
el límite
límite
límite
límite


Indeterminaciones en determinaciones cero elevada cero, infinito elevado a cero, uno elevado infinito

En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:
operaciones
operaciones
límite

Ejemplos

límite
a
límite
solución
límite
límite
límite
límites
solución
límite
límite
A
límite
solución


Ejercicios

límite
límite
solución
límite
límite
solución
límite
límite
operaciones
solución
operaciones
límite
operaciones
A
solución
límite
indeterminación
operaciones
solución
límite
indeterminación
operaciones
solución
límite
indeterminación
operaciones
operaciones
operaciones
solución
límite
y determinación
operaciones
Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:
operaciones
operaciones
operaciones
operaciones
solución
límite
indeterminación
operaciones
operaciones
solución