Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que
Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:
; , siempre que
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno decon
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.
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22. Calcula y', siendo
Solución:
Tenemos:
hallamos las derivadas parciales:
;
Por lo tanto:
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23. Calcula y, siendo
Solución:
Tenemos:
hallamos las derivadas parciales:
;;
Por lo tanto:
:
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24. Demuestra que la ecuación define en un entorno del punto (1, 1) una función Calcula y'(1) e y''(1)
Solución:
a) Existencia de la función explícita:
Consideramos la función: tenemos:
F es diferenciable con continuidad en y por lo tanto en un entorno de (1, 1)
Luego, de acuerdo con el teorema de existencia de funciones implícitas existe en un entorno de 1 con
b) Cálculo de y'(1)
Derivamos la ecuación teniendo en cuenta que y es función de x
sustituyendo
c) Cálculo de y''(1)
Derivando la ecuaciónse tiene.
Este caso particular también se podía haber resuelto despejando y eligiendo el signo + ya que
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25. Calcula dz en la ecuación
Solución:
Consideramos la función:
Hallamos las derivadas parciales
Con lo cual
Con lo que resulta: