4.8 Derivada de funciones implícitas

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación  puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que 

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:

; , siempre que 

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno decon

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.

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22. Calcula y', siendo

Solución:

Tenemos: 

hallamos las derivadas parciales:

;

Por lo tanto:

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23. Calcula y, siendo

Solución:

Tenemos: 

hallamos las derivadas parciales:

;;

Por lo tanto:

:

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24. Demuestra que la ecuación define en un entorno del punto (1, 1) una función  Calcula y'(1) e y''(1)

Solución:

a) Existencia de la función explícita:

Consideramos la función: tenemos:

F es diferenciable con continuidad en y por lo tanto en un entorno de (1, 1)

Luego, de acuerdo con el teorema de existencia de funciones implícitas existe en un entorno de 1 con 

b) Cálculo de y'(1)

Derivamos la ecuación teniendo en cuenta que y es función de x 

sustituyendo

c) Cálculo de y''(1)

Derivando la ecuaciónse tiene.

Este caso particular también se podía haber resuelto despejando y eligiendo el signo + ya que

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25. Calcula dz en la ecuación 

Solución:

Consideramos la función: 

Hallamos las derivadas parciales

Con lo cual

Con lo que resulta: