Se
le llama función real de variable real a toda la función definida de un
subconjunto D de
los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada
elemento x de D le
corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede
correctamente definida es necesario determinar:
1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del
conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida
por:
f:R ——–>R
x———>x2.
asigna a cada número real su
cuadrado.
Tiene
por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado
cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo
el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los
números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es
positivo:
lim(f)=R+.
La
regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su
cuadrado para obtener la imagen”.
El límite de una función de variable
real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de
una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe,
si existe otro número real R entonces para un número positivo conocido 
, existe otro número delta,
tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,
, existe otro número delta,
tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,
y son letras de Grecia utilizadas
tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites
épsilon-delta.
Puede ser el caso cuando la función F
satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta
numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la
izquierda. En ese caso, puede ser representada como
Este caso puede ser leído como ‘la
existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado
derecho pueden ser demostrados como
Sin embargo, no se puede decir que el
límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho
persistan y se conviertan iguales.
Mientras se resuelve un problema “
límite de una función de variable real “ se debe hacer énfasis principalmente
en el cálculo del rango del límite y no en identificar si el límite existe o
no.
El límite de una función de variable
real se puede definir en el infinito si la recta numérica es considerada
extensible. Si F® es la función, entonces, el límite infinito de F se puede
representar como
Existen algunas propiedades que valen
la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de
variable real F:
1). El límite de F se dice que existe
cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la
función correspondiente.
2). Se dice que F es continua en un
punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A
subsiste y es equivalente a f(A).
3). Si el límite de la función F®
como r se mueve hacia A es L1 y el límite de otra función H® como r se mueve
hacia A es L2, entonces, el límite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.
4). El límite de F debe ser
compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite
del lado derecho exista.
La definición y sus propiedades
pueden ser más profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo.
Consideremos una función F® =
La función puede ser simplificada
como:
F® =
(r + 2) (r - 2)
(r – 2)
F® = r +
2, r 2
Es decir la línea r + 2 con el punto
( 2, 4 ) son los puntos faltantes.
Se puede observar que r = 2 no se
encuentra en el dominio de F y 4 no está en el rango correspondiente. Por lo
cual, al poner r cerca del 2, obligará a F hasta el punto (2, 4). Esto es,
De acuerdo a la definición, si un
número real es dado, entonces se necesita encontrar otro número , tal que, <
. Entonces, este puede ser probado como:
Si | r
−2 | <
2+ < r < 2 -
2 - + 2< r + 2 < 2 + + 2
4 - < r + 2 < 4 +
4 - < r + 2 < 4 +
|(r + 2)
- 4| <
