Una función f: X y es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.
La ecuación polinómica, conteniendo los términos tanto de x e y son muy difíciles de resolver. Si la ecuación no se resuelve para y, entonces y se llama una función implícita en términos de x, y tal ecuación se denomina función implícita. Una función implícita es generalmente de la forma,
Una función implícita también se conoce como un conjunto de nivel de cualquier función en términos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna fórmula específica para determinar una variable en términos de otra variable.
Las funciones implícitas y las funciones explícitas están relacionadas entre sí con la ayuda del teorema de la función implícita. Según este teorema, si la función implícita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta función para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeño.
Si nos fijamos en la gráfica de una función implícita, nos encontraríamos con que su gráfica se superpone con la gráfica de la función f(x) = y, localmente.
Para tener una mejor comprensión, veamos el ejemplo dado a continuación,
Aquí x es una función implícita en términos de y, también y es una función implícita en términos de x. Para resolver la ecuación para la variable y, la ecuación se convertiría,
En la ecuación anterior, y es la función explícita de x. En el penúltimo ejemplo era fácil resolver la ecuación para y en términos de x, pero hay ocasiones en que la función dada es mucho más compleja y no se puede resolver fácilmente.
Una manera más simple y conveniente para resolver tal función es utilizar el método de diferenciación. Primeramente, diferencie la función dada que producirá la derivada dy/dx ó dx/dy, dependiendo de la variable que se considere implícita. Ahora resuelva para esta derivada.
Existen muchos más métodos para solucionar la función implícita, algunos de los cuales son iterativos. Aunque los métodos iterativos producen mejores resultados que los no iterativos en sus aproximaciones sucesivas, se utilizan en raras ocasiones debido a la complejidad que implica el uso de dichos métodos.
Al contrastar el número de ecuaciones (m) en el sistema con el número de variables (n), se puede adquirir información básica acerca de ese conjunto de nivel.
• Si n> m entonces existen infinitas soluciones del sistema de ecuaciones. Dicho sistema también se denomina indeterminado.
• Si n = m, entonces tenemos una única solución a nivel local para el sistema de ecuaciones y la ecuación se puede determinar con exactitud. Esto significa que si tenemos x como la solución de la ecuación entonces no existe ninguna otra solución para la ecuación cerca de x.
• Si n <m entonces no existe solución para el sistema de ecuaciones. Este sistema es también llamado sobredeterminado.
